1、考虑优化问题minimize f(x, y)，其中f: ℝm × ℝn → ℝ。证明f的最小值可以通过先对x求最小值，再对y求最小值得到。具体来说，设g: ℝn → ℝ定义为g(y) = minx f(x, y)，并且对于给定的y，令 ̄x(y) ∈ argminx f(x, y)表示f(x, y)的一个极小值点。类似地，定义 ̄y ∈ argminy g(y)。证明(̄x(̄y), ̄y)是f的一个极小值点。
极小值点证明
本题可通过极小值点的定义来证明$(\bar{x}(\bar{y}), \bar{y})$是$f$的极小值点。
首先明确$g(y)$的定义 ： 根据已知，$g(y) = \min_x f(x, y)$，这意味着对于任意的$y$和任意的$x$，都有$g(y) \leq f(x, y)$。 因为$\bar{x}(y)$是使得$f(x, y)$取得最小值的$x$，所以$f(\bar{x}(y), y) = g(y)$。
然后考虑$\bar{y}$的定义 ： 由于$\bar{y} \in \arg\min_y g(y)$，这表明对于任意的$y$，都有$g(\bar{y}) \leq g(y)$。
接着进行推导 ： 对于任意的$(x, y)$，有$f(x, y) \geq g(y)$（由$g(y)$的定义）， 又因为$g(\bar{y}) \leq g(y)$（由$\bar{y}$的定义），所以$f(x, y) \geq g(y) \geq g(\bar{y})$。 而$g(\bar{y}) = f(\bar{x}(\bar{y}), \bar{y})$（根据$g(y)$的定义，当$y = \bar{y}$时）， 即对于任意的$(x, y)$，都有$f(x, y) \geq f(\bar{x}(\bar{y}), \bar{y})$。